## 958 **D) 3** Wenn wir die kleinere Zahl als n bezeichnen, dann ist die nächstgrößere Zahl n+1. Laut Aufgabe ist ihr Produkt um 9 größer als die kleinere Zahl, also gilt: n·(n+1) = n+9. Wenn wir diese Gleichung auflösen, erhalten wir n² + n = n + 9, was zu n² = 9 vereinfacht werden kann. Daraus folgt n = 3, da wir eine natürliche Zahl suchen. Zur Probe: 3·4 = 12 und 12 ist tatsächlich um 9 größer als 3. Die anderen Antwortoptionen erfüllen diese Bedingung nicht: Bei n = 1 wäre 1·2 = 2, also nur um 1 größer als 1; bei n = 2 wäre 2·3 = 6, also um 4 größer als 2; bei n = 4 wäre 4·5 = 20, also um 16 größer als 4; bei n = 5 wäre 5·6 = 30, also um 25 größer als 5. ## 959 **B) $x = 3, y = 2$** Um das Gleichungssystem zu lösen, musst du die beiden Gleichungen $2x + y = 8$ und $x - y = 1$ nach $x$ und $y$ auflösen. Aus der zweiten Gleichung erhältst du $y = x - 1$. Wenn du diesen Wert in die erste Gleichung einsetzt, bekommst du $2x + (x - 1) = 8$, also $3x - 1 = 8$, woraus folgt $3x = 9$ und somit $x = 3$. Mit diesem Wert kannst du nun $y$ berechnen: $y = x - 1 = 3 - 1 = 2$. Die Lösung $x = 3$ und $y = 2$ erfüllt auch die Bedingungen $x \geq 0$ und $y \geq 0$. Die anderen Optionen sind falsch, weil sie die Gleichungen nicht erfüllen. Du kannst das leicht überprüfen, indem du die Werte in die ursprünglichen Gleichungen einsetzt. Zum Beispiel bei Option A: $2 \cdot 2 + 4 = 8$ (stimmt), aber $2 - 4 = -2$ (ungleich 1). ## 960 **A) $\frac{7}{18}$** Um die Addition $\frac{2}{9} + \frac{3}{18}$ zu vereinfachen, musst du zuerst einen gemeinsamen Nenner finden. Da 18 ein Vielfaches von 9 ist (18 = 9 · 2), kannst du den ersten Bruch auf den Nenner 18 erweitern: $\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{4}{18}$. Jetzt kannst du die Brüche mit gleichem Nenner addieren: $\frac{4}{18} + \frac{3}{18} = \frac{7}{18}$. Das Ergebnis $\frac{7}{18}$ ist bereits vollständig gekürzt, da 7 und 18 keinen gemeinsamen Teiler haben. Die anderen Antwortoptionen sind falsch, weil sie entweder Rechenfehler enthalten (wie $\frac{5}{18}$) oder das Ergebnis falsch gekürzt wurde (z.B. wäre $\frac{1}{3}$ zu stark gekürzt, da $\frac{7}{18} \neq \frac{1}{3}$). ## 961 **C) $d = \frac{c}{b}$** Wenn $a = \frac{b}{c}$ gegeben ist und $d$ der Kehrwert (also $a^{-1}$) sein soll, dann muss man den Bruch umkehren. Der Kehrwert eines Bruchs entsteht, indem man Zähler und Nenner vertauscht. Aus $\frac{b}{c}$ wird also $\frac{c}{b}$. Die anderen Optionen sind mathematisch nicht korrekt, da sie entweder den ursprünglichen Bruch beibehalten (A), die Variable unverändert lassen (B), eine Subtraktion statt einer Division verwenden (D) oder eine nicht lösbare Gleichung aufstellen (E). ## 962 **A) 2,5 Millionen** Von den 5 Millionen Wahlberechtigten nehmen bei 75% Wahlbeteiligung 3,75 Millionen Menschen an der Wahl teil ($5 \text{ Mio.} \times 0,75 = 3,75 \text{ Mio.}$). Für eine Zweidrittelmehrheit werden zwei Drittel der abgegebenen Stimmen benötigt. Die erforderliche Stimmenzahl berechnet sich also durch $3,75 \text{ Mio.} \times \frac{2}{3} = 2,5 \text{ Mio.}$ Stimmen. Die Berechnung lässt sich in zwei einfache Schritte aufteilen: Erst die Ermittlung der tatsächlichen Wähler durch die Wahlbeteiligung, dann die Berechnung der benötigten Zweidrittelmehrheit von dieser Grundgesamtheit. ## 963 **C) 1., 3. und 4. sind richtig.** Die Parabel im Bild ist nach oben geöffnet (Aussage 1 ist richtig), und der y-Achsenabschnitt liegt bei -50. Die Funktionsgleichung muss daher die Form $y = ax² + c$ mit $a > 0$ und $c = -50$ haben, also $y = x² - 50$ (Aussage 3 ist richtig, Aussage 2 falsch). Um den Funktionswert bei $x = 100$ zu berechnen, setzt du $x = 100$ in die Gleichung ein: $y = 100² - 50 = 10000 - 50 = 9950$ (Aussage 4 ist richtig). Die Parabel hat also die Form $y = x² - 50$, schneidet die y-Achse bei -50 und hat bei $x = 100$ den Funktionswert 9950. ## 964 **B) y = 12** Um die Gleichung $\frac{2}{x} + \frac{y}{2} = 5$ zu lösen, setze ich x = -2 ein und berechne den Wert für y. Wenn ich x = -2 einsetze, erhalte ich: $\frac{2}{-2} + \frac{y}{2} = 5$. Der erste Term vereinfacht sich zu $\frac{2}{-2} = -1$. Damit wird die Gleichung zu $-1 + \frac{y}{2} = 5$. Durch Addition von 1 auf beiden Seiten erhalte ich $\frac{y}{2} = 6$. Um y zu isolieren, multipliziere ich beide Seiten mit 2: $y = 12$. Die anderen Antwortoptionen ergeben sich, wenn du Rechenfehler machst, z.B. wenn du vergisst, dass $\frac{2}{-2}$ negativ ist oder wenn du beim Umstellen der Gleichung falsch rechnest. ## 965 **C) 55.5g** Um die maximal erlaubte Menge Käse zu berechnen, müssen wir von den vorgegebenen 25g Fett ausgehen und berücksichtigen, dass der Käse 45% Fett enthält. Da wir die Gesamtmenge Käse suchen, stellen wir folgende Rechnung auf: 25g entsprechen 45% der gesuchten Käsemenge. Mit der Formel $\frac{25g}{0,45} = 55,5g$ erhalten wir die maximale Käsemenge. Einfacher ausgedrückt: Wenn 45g Käse 20,25g Fett enthalten würden, dann enthalten 55,5g Käse genau die erlaubten 25g Fett. Diese Berechnung basiert auf dem Dreisatz bzw. der proportionalen Beziehung zwischen Fettgehalt und Käsemenge. ## 966 **B) 24** Da insgesamt 96 Personen im Verein trainieren und es dreimal so viele Studenten wie Studentinnen gibt, können wir die Gesamtzahl in vier gleiche Teile aufteilen. Ein Teil davon sind die Studentinnen (24), die anderen drei Teile sind die Studenten (72). Dies lässt sich einfach überprüfen: $24 + (3 \times 24) = 96$. Die Anzahl der Studentinnen muss also 24 betragen, da nur so das Verhältnis 1:3 und die Gesamtsumme von 96 Personen stimmen können. ## 967 **C) Wird c halbiert, steigt V um das Vierfache.** Wenn du die Funktion V(a, b, c) = (a³*b²)/c² betrachtest und c halbierst, dann steht im Nenner (c/2)² = c²/4. Da der Nenner durch 4 geteilt wird, wird der gesamte Bruch mit 4 multipliziert, also vervierfacht sich V. Du kannst das auch durch Einsetzen überprüfen: Wenn du für c den Wert c/2 einsetzt, erhältst du V = (a³*b²)/((c/2)²) = (a³*b²)/(c²/4) = 4*(a³*b²)/c². ## 968 **C) x/4 = 5** Um die Gleichung x/4 + 3 = 8 zu lösen, musst du zuerst alle Terme mit der Variablen x auf eine Seite und alle anderen Terme auf die andere Seite bringen. Subtrahiere 3 von beiden Seiten: x/4 = 8 - 3 = 5. Diese vereinfachte Form entspricht genau der Antwort C. Die anderen Optionen sind falsch: Bei A wurde fälschlicherweise mit 4 multipliziert, ohne den konstanten Term 3 zu berücksichtigen. Bei B wurde der konstante Term 3 komplett ignoriert. Bei D wurde eine komplizierte Äquivalenzumformung durchgeführt, die nicht zum richtigen Ergebnis führt. Bei E wurde die Gleichung quadriert, was zu einer nicht-äquivalenten Gleichung führt, da dabei Lösungen hinzukommen können. ## 969 **B) 1. und 2. sind richtig** 0,00205% entspricht sowohl 20,5 ppm als auch 0,0205 g/kg, da diese Konzentrationsangaben mathematisch äquivalent sind. Die Umrechnung erfolgt wie folgt: 0,00205% = 0,0000205 = 20,5/1.000.000 = 20,5 ppm. Ebenso gilt: 0,00205% = 0,0205 g pro 1000 g = 0,0205 g/kg. Die Angaben 2,05 mg/kg und 20,5 pg/mg sind hingegen um jeweils eine Zehnerpotenz zu niedrig bzw. zu hoch. ## 970 **D) ≈16,7%** Der Streifen erstreckt sich von der Mittellinie bis zum Ende des Feldes, nimmt also die Hälfte der Länge ein. In der Breite beträgt er ein Drittel ($\frac{1}{3}$) der Gesamtbreite. Um den Flächenanteil zu berechnen, multiplizieren wir diese beiden Anteile: $\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. Als Dezimalzahl entspricht dies etwa 0,167 oder als Prozentangabe ≈16,7%. Die häufigen Fehler entstehen, wenn man nur die Breite (33,3%) oder nur die Länge (50%) betrachtet oder wenn man die Anteile addiert statt multipliziert. ## 971 **E) Nach t = a/b Minuten** Um den ursprünglichen Ruhepuls wiederzuerreichen, muss die Herzfrequenz $f(t)$ wieder gleich $f_{Ruhe}$ sein. Setzt man dies in die Gleichung ein, erhält man: $f_{Ruhe} = f_{Ruhe} - at + bt^2$. Nach Vereinfachung ergibt sich $0 = -at + bt^2$ oder $bt^2 - at = 0$. Dies lässt sich zu $t(bt - a) = 0$ faktorisieren. Die Lösung $t = 0$ beschreibt den Startzeitpunkt. Die gesuchte positive Lösung erhält man durch $bt - a = 0$, woraus sich $t = \frac{a}{b}$ ergibt. Dieser Zeitpunkt markiert den Moment, an dem die quadratische Beschleunigung die lineare Verlangsamung exakt ausgleicht. ## 972 **D) 108** Bei dieser Aufgabe musst du die Anzahl der positiven Diagnosen berechnen. Von 1000 Personen haben 1% (also 10 Personen) tatsächlich Brustkrebs. Von diesen 10 erkrankten Personen werden 90% korrekt erkannt, also 9 Personen (richtig positiv). Die restlichen 990 Personen sind gesund, aber 10% davon (99 Personen) erhalten fälschlicherweise eine positive Diagnose (falsch positiv). Insgesamt erhältst du somit 9 + 99 = 108 positive Diagnosen. Die anderen Antwortoptionen berücksichtigen entweder nicht beide Arten von positiven Diagnosen oder berechnen die Anzahlen falsch (z.B. Option A mit 110, die möglicherweise alle erkrankten Personen plus 10% der Gesunden zählt, ohne die falsch negativen abzuziehen). ## 973 **B) 1. und 2. sind richtig** Um 0,00012 in Prozent umzurechnen, multiplizieren wir mit 100: 0,00012 × 100 = 0,012%. Für die Promille-Umrechnung multiplizieren wir mit 1000: 0,00012 × 1000 = 0,12‰. Somit sind die Aussagen 1 (0,012%) und 2 (0,12‰) korrekt. Die anderen Umrechnungen sind falsch: 0,12% wäre zu groß (entspricht 0,0012), 0,012‰ zu klein (entspricht 0,000012) und 1,2‰ viel zu groß (entspricht 0,0012). Eine hilfreiche Merkregel: Bei der Umrechnung von Dezimalzahlen in Prozent rückt das Komma zwei Stellen nach rechts, bei Promille drei Stellen. ## 974 **B) x = -8** Um die Nullstellen der Funktion f(x) = x² - 64 zu finden, musst du die Gleichung x² - 64 = 0 lösen. Stelle die Gleichung um: x² = 64. Nun ziehst du die Wurzel auf beiden Seiten: x = ±√64 = ±8. Die Nullstellen sind also x = 8 und x = -8. In den Antwortoptionen ist nur x = -8 als Option B angegeben. Die anderen Optionen sind falsch: x = 16 (A) wäre die Lösung von x² = 256, x = 32 (C) wäre die Lösung von x² = 1024, und x = 64 (D) bzw. x = -64 (E) wären Lösungen von x² = 4096. Denke daran, dass bei quadratischen Gleichungen dieser Form immer zwei Lösungen existieren, eine positive und eine negative. ## 975 **A) x(1) = 1; x(i) = x(i-1)+4*(i-1)** Die Zahlenfolge zeigt die Anzahl der Kreise in einem wachsenden Muster: 1, 5, 13, 25. Um von einem Wert zum nächsten zu kommen, wird jeweils eine größer werdende Anzahl von Kreisen hinzugefügt: erst 4, dann 8, dann 12. Diese Zunahme folgt dem Muster 4×1, 4×2, 4×3, also 4 multipliziert mit der Position minus 1. Die Formel x(i) = x(i-1)+4*(i-1) beschreibt genau dieses Wachstum: x(1) = 1; x(i) = x(i-1) + 4*(i-1) x(2) = x(1) + 4·(2-1) = 1 + 4 = 5 x(3) = x(2) + 4·(3-1) = 5 + 8 = 13 x(4) = x(3) + 4·(4-1) = 13 + 12 = 25 ## 976 **A) 1 Liter Milch und 1,5 kg Mehl** Wenn ein Rezept für doppelt so viele Personen zubereitet werden soll, müssen alle Zutaten verdoppelt werden. Für 4 Personen benötigt man $\frac{1}{2}$ Liter Milch und $\frac{3}{4}$ kg Mehl. Für 8 Personen braucht man also $\frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ Liter Milch und $\frac{3}{4} \cdot 2 = \frac{6}{4} = 1,5$ kg Mehl. Die Verdoppelung ist ein einfacher proportionaler Zusammenhang: doppelte Personenzahl bedeutet doppelte Zutatenmenge. Die anderen Optionen enthalten entweder falsche Berechnungen oder verwenden einen falschen Umrechnungsfaktor. ## 977 **B) 360 €** Bei dieser Aufgabe geht es um aufeinanderfolgende prozentuale Preisreduktionen. Schritt 1: Berechnung der ersten Preissenkung um 20% $500 € \cdot 0,8 = 400 €$ Nach der ersten Preissenkung kostet der Fernseher 400 €. Schritt 2: Berechnung der zweiten Preissenkung um 10% $400 € \cdot 0,9 = 360 €$ Nach der zweiten Preissenkung beträgt der Endpreis 360 €. Wichtig zu verstehen: Bei aufeinanderfolgenden Prozentänderungen wird jede neue Änderung auf den bereits veränderten Wert angewendet, nicht auf den ursprünglichen Wert. Ein häufiger Fehler wäre, beide Prozentsätze zu addieren (20% + 10% = 30%) und dann 70% des Ursprungspreises zu berechnen (350 €), was zur falschen Antwort A führen würde. ## 978 **B) 12** Die mittlere Zahl ist 12. Wenn wir drei aufeinanderfolgende gerade Zahlen haben, können wir sie als x-2, x und x+2 darstellen, wobei x die mittlere Zahl ist. Laut Aufgabe beträgt die Summe 36: $x-2 + x + x+2 = 36$ Vereinfachen wir die linke Seite: $3x = 36$ Durch Division durch 3 erhalten wir: $x = 12$ Die drei aufeinanderfolgenden geraden Zahlen sind also 10, 12 und 14, mit 12 als mittlerer Zahl. Man kann zur Kontrolle prüfen: 10 + 12 + 14 = 36. ## 979 **C) 40** Um die richtige Gesamtanzahl der Tabletten zu ermitteln, gehst du schrittweise vor. Zuerst berechnest du, wie viele Tabletten du für eine einzelne Dosis von $250 \text{ mg}$ benötigst. Da eine Tablette eine Wirkstärke von $125 \text{ mg}$ hat, teilst du die verordnete Dosis durch die Wirkstärke einer Tablette. $ \frac{250 \text{ mg}}{125 \text{ mg/Tablette}} = 2 \text{ Tabletten} $ Du benötigst also 2 Tabletten pro Einnahme. Da du die Tabletten zweimal täglich (morgens und abends) einnehmen sollst, brauchst du pro Tag $2 \times 2 = 4$ Tabletten. Für den gesamten Zeitraum von 10 Tagen multiplizierst du die tägliche Anzahl an Tabletten mit der Anzahl der Tage. $ 4 \text{ Tabletten/Tag} \times 10 \text{ Tage} = 40 \text{ Tabletten} $ Insgesamt werden also 40 Tabletten benötigt. Die Antwort B) 20 ist eine typische Falle, bei der man zwar die Gesamtzahl der Einnahmen ($2 \times 10 = 20$) berechnet, aber vergisst, dass pro Einnahme zwei Tabletten erforderlich sind. ## 980 **C) 0,0425** Um den Wert des Terms zu bestimmen, löst du zuerst die Klammer auf. Nach den Potenzgesetzen teilst du Potenzen mit gleicher Basis ($10$), indem du ihre Exponenten voneinander subtrahierst. Der Rechenschritt für die Klammer lautet also: $ 10^{-3} \div 10^{-1} = 10^{-3 - (-1)} = 10^{-2} $ Nun berechnest du die beiden Teile des Terms. Der erste Teil ist $4 \cdot 10^{-2}$, was $4 \cdot 0,01 = 0,04$ entspricht. Für den zweiten Teil, $250 \cdot 10^{-5}$, verschiebst du das Komma bei der Zahl 250 um fünf Stellen nach links, was zu $0,0025$ führt. Zum Schluss addierst du die beiden Ergebnisse: $0,04 + 0,0025 = 0,0425$. Ein häufiger Fehler passiert bei der Subtraktion der Exponenten, wo aus $(-3) - (-1)$ fälschlicherweise $-4$ berechnet wird, was zu einem falschen Ergebnis führt.