## 885 **A) 1 ng/g** Die Einheit ppb (parts per billion) entspricht einem Teilchen pro Milliarde Teilchen, was als Massenkonzentration 1 ng/g entspricht. Dies lässt sich leicht nachvollziehen: Eine Milliarde ($10^9$) entspricht 1000 Millionen, und da 1 ng ein Milliardstel Gramm ist, ergibt sich bei 1 ng pro 1 g genau das Verhältnis von 1:$10^9$, also 1 ppb. Die anderen Optionen sind entweder zu groß (1 µg/g = 1 ppm, 1 mg/kg = 1 ppm) oder zu klein (1 pg/g = 1 ppt). Die Umrechnung zwischen Massenkonzentration und ppb ist besonders in der Umweltanalytik und Spurenanalytik wichtig, wo oft sehr geringe Konzentrationen gemessen werden. ## 886 **C) 234 × 10² ** Um Zahlen mit Zehnerpotenzen umzuformen, musst du die Kommastelle verschieben und entsprechend die Zehnerpotenz anpassen. Bei 2,34 × 10⁴ kannst du das Komma um 2 Stellen nach rechts verschieben, wodurch aus 2,34 die Zahl 234 wird. Da du das Komma um 2 Stellen nach rechts verschoben hast, musst du die Zehnerpotenz um 2 verringern, also von 10⁴ auf 10². Somit erhältst du 234 × 10². ## 887 **C) kilo (10³)** Das Präfix "kilo" steht im SI-Einheitensystem für den Faktor $10^3$, also 1000. Dies ist eines der am häufigsten verwendeten Präfixe und begegnet uns im Alltag beispielsweise beim Kilogramm (kg) oder Kilometer (km). In der Reihe der SI-Präfixe liegt kilo zwischen hekto ($10^2$) und mega ($10^6$). Die anderen Optionen sind falsch, da mega für $10^6$, nano für $10^{-9}$, giga für $10^9$ und deka für $10^1$ stehen. Die korrekte Zuordnung von Präfixen zu Zehnerpotenzen ist fundamental für wissenschaftliches Arbeiten und präzise Größenangaben. ## 888 **B) 10⁻¹** Bei der Multiplikation von Zehnerpotenzen werden die Exponenten addiert: $10^{-6} \cdot 10^5 = 10^{(-6+5)} = 10^{-1}$. Dies ist ein grundlegendes Rechengesetz für Potenzen mit gleicher Basis. Der negative Exponent -6 plus der positive Exponent 5 ergibt -1, was einer Dezimalzahl von 0,1 entspricht. Die anderen Optionen entstehen möglicherweise durch Verwechslung von Addition und Subtraktion der Exponenten oder durch falsches Vorzeichen bei der Berechnung. ## 889 **C) 1, 2, 3, 4, 5, 6** Alle aufgelisteten SI-Präfixe sind korrekt mit ihren entsprechenden Zehnerpotenzen gepaart. Milli (m) steht für ein Tausendstel ($10^{-3}$), Mega (M) für eine Million ($10^6$), Kilo (k) für Tausend ($10^3$), Nano (n) für ein Milliardstel ($10^{-9}$), Dezi (d) für ein Zehntel ($10^{-1}$) und Giga (G) für eine Milliarde ($10^9$). Diese Präfixe sind Teil des internationalen Einheitensystems (SI) und werden verwendet, um große und kleine Zahlen übersichtlich darzustellen. Statt beispielsweise 1.000.000 Meter zu schreiben, können wir einfach 1 Megameter sagen. Die Präfixe folgen dabei einem logischen System, bei dem jede Stufe einer Veränderung um den Faktor 10 oder 1000 entspricht. ## 890 **B) 2, 3, 4 und 5 sind korrekt** Bei Zehnerpotenzen gelten wichtige Rechenregeln: Beim Multiplizieren (2) werden die Exponenten addiert ($10^3 \times 10^2 = 10^5$), und beim Potenzieren (5) werden sie multipliziert ($(10^2)^3 = 10^6$). Negative Zehnerpotenzen (3) sind Brüche kleiner als 1, z.B. ist $10^{-2} = \frac{1}{100}$. Die Umkehrung (4) einer Zehnerpotenz erhält man durch Vorzeichenwechsel des Exponenten ($\frac{1}{10^3} = 10^{-3}$). Aussage 1 ist falsch, denn beim Addieren von Zehnerpotenzen müssen diese erst auf gleiche Exponenten gebracht und dann die Koeffizienten addiert werden ($3 \times 10^2 + 4 \times 10^2 = 7 \times 10^2$). ## 891 A) (-6)^4 Um dieses Produkt zu vereinfachen, kannst du die Potenzgesetze anwenden: $(-3)^4 \cdot 2^4 = ((-3) \cdot 2)^4 = (-6)^4$ ## 892 **D) 10 Billionen km** Um die Strecke eines Lichtjahres zu berechnen, multiplizieren wir die Lichtgeschwindigkeit (300000 km/s) mit der Anzahl der Sekunden in einem Jahr. Ein Tag hat 80000 Sekunden, ein Jahr hat 400 Tage, also insgesamt $80000 \times 400 = 32$ Millionen Sekunden pro Jahr. Multipliziert man dies mit der Lichtgeschwindigkeit ($300000 \times 32000000$), erhält man etwa 10 Billionen Kilometer. Diese enorme Distanz verdeutlicht die riesigen Entfernungen im Weltall. Die anderen Optionen unterschätzen die tatsächliche Entfernung deutlich, was zeigt, wie schwer solche astronomischen Distanzen vorstellbar sind. ## 893 **B) 1 x 10⁴** Um 2 Terabyte durch 200 Megabyte zu teilen, müssen wir zunächst beide Größen in die gleiche Einheit umrechnen. 1 Terabyte (TB) entspricht $10^6$ Megabyte (MB), also sind 2 TB = $2 \times 10^6$ MB. Wenn wir nun $2 \times 10^6$ MB durch 200 MB teilen, erhalten wir: $(2 \times 10^6) \div 200 = (2 \times 10^6) \div (2 \times 10^2) = 1 \times 10^4$. ## 894 **C) Das Ergebnis von (-4)^2 × (-2)^2 entspricht (-4 × -2)^2 = 8^2 = 64.** Bei Potenzen mit negativen Basiszahlen gelten dieselben Rechenregeln wie bei positiven Zahlen. Die Aussage C ist korrekt, weil $(-4)^2 = 16$ und $(-2)^2 = 4$, also $(-4)^2 \times (-2)^2 = 16 \times 4 = 64$. Gleichzeitig gilt $(-4 \times -2)^2 = 8^2 = 64$, da $-4 \times -2 = 8$ ist. Die anderen Optionen enthalten Fehler: A ist falsch, denn $(-5)^3 = -125$ (negativ bei ungeradem Exponenten); B ist falsch, da $(-5)^4 = 625$ (positiv bei geradem Exponenten); D ist falsch, weil die Regel $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ auch für negative Zahlen gilt; E ist falsch, da für negative Basiszahlen dieselben Potenzgesetze gelten. ## 895 **C) 10⁻¹²** Das Präfix "Pico" (p) steht für den Faktor $10^{-12}$ und wird verwendet, um sehr kleine Einheiten darzustellen. Es ist Teil des SI-Einheitensystems und liegt zwischen "nano" ($10^{-9}$) und "femto" ($10^{-15}$). In der Praxis wird dieses Präfix häufig in der Elektronik verwendet, beispielsweise bei Kapazitäten von Kondensatoren (Picofarad, pF) oder in der Zeitmessung (Picosekunden, ps). ## 896 **B) 10⁸** Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis (hier 10) werden die Exponenten subtrahiert: $10^5 \div 10^{-3} = 10^{5-(-3)} = 10^{5+3} = 10^8$. Der negative Exponent -3 wird beim Subtrahieren zu +3, wodurch sich die Exponenten 5 und 3 addieren. Dies erklärt sich dadurch, dass ein negativer Exponent eine Umkehrung (1 geteilt durch die Potenz) bedeutet: $10^{-3} = \frac{1}{10^3}$. Die Division durch einen Bruch entspricht einer Multiplikation mit dem Kehrwert, was die Addition der Exponenten erklärt. ## 897 **D) Ein Dezimeter entspricht 10⁻¹ Meter und findet Anwendung bei mittleren Maßstäben in Karten.** Das Präfix "dezi" steht im SI-Einheitensystem für den Faktor $10^{-1}$, also ein Zehntel. Ein Dezimeter (dm) ist demnach genau ein Zehntel eines Meters. Dies lässt sich leicht merken, da "dezi" vom lateinischen "decimus" (der Zehnte) stammt. In der Kartographie wird diese Einheit besonders bei mittleren Maßstäben verwendet, da sie eine praktische Zwischengröße zwischen Zentimeter und Meter darstellt. Die anderen Optionen sind falsch, da sie entweder falsche Zehnerpotenzen angeben ($10^{-2}$, $10^0$, $10^1$, $10^2$) oder die Anwendung in der Kartographie nicht korrekt beschreiben. ## 898 **A) 4, 2, 3, 1, 5, 6 (p, n, µ, m, k, M)** Die SI-Präfixe lassen sich anhand ihrer Zehnerpotenzen ordnen: Piko (p) = $10^{-12}$, Nano (n) = $10^{-9}$, Mikro (µ) = $10^{-6}$, Milli (m) = $10^{-3}$, Kilo (k) = $10^3$, Mega (M) = $10^6$. Je kleiner der Exponent, desto kleiner ist der Wert des Präfixes. Die Reihenfolge geht also von der kleinsten Einheit (Piko) über Nano, Mikro und Milli bis zu den Vergrößerungen Kilo und Mega. Ein einfacher Merksatz: "Papa Nase Macht Mir Keine Mühe" hilft bei der Reihenfolge der ersten Buchstaben (p, n, µ, m, k, M). ## 899 **A) 4 × 10⁶ ** Um die Anzahl der versorgbaren Haushalte zu bestimmen, teilt man die jährlich erzeugte Gesamtenergie (15000 GWh) durch den durchschnittlichen Jahresverbrauch pro Haushalt (3750 kWh). Zuvor ist eine Einheitenumrechnung notwendig: Da 1 GWh = $10^6$ kWh entspricht, sind 15000 GWh gleich $15000 \times 10^6$ kWh. Die Division ergibt dann $\frac{15000 \times 10^6 \text{ kWh}}{3750 \text{ kWh}} = (\frac{15000}{3750}) \times 10^6 = 4 \times 10^6$. Somit können 4 Millionen Haushalte versorgt werden. ## 900 **D) Giga (10⁹)** Das SI-Präfix "Giga" steht für den Faktor $10^9$ und ist damit die korrekte Wahl für die angegebene Strahlendosis. In der Radiologie werden Strahlendosen häufig in verschiedenen Einheiten gemessen, wobei das Gray (Gy) die SI-Einheit für die Energiedosis ist. Bei einer Größenordnung von $10^9$ Gray verwendet man das Präfix "Giga" (G), also GGy. Die anderen Präfixe entsprechen anderen Größenordnungen: Nano ($10^{-9}$), Mega ($10^6$), Kilo ($10^3$) und Deka ($10^1$) wären für den gegebenen Wert entweder zu klein oder zu groß. ## 901 **C) 25.000 Pikometer** Um Nanometer in Pikometer umzurechnen, muss man wissen, dass 1 Nanometer = 1.000 Pikometer entspricht. Bei der Umrechnung von größeren zu kleineren Einheiten im metrischen System multipliziert man mit der entsprechenden Zehnerpotenz. Da Pikometer drei Größenordnungen kleiner sind als Nanometer, multiplizieren wir 25 Nanometer mit 1.000: $25 \text{ nm} \times 1.000 = 25.000 \text{ pm}$. Die anderen Antwortoptionen zeigen typische Fehler bei Einheitenumrechnungen, wie etwa die Verwechslung der Umrechnungsrichtung (Division statt Multiplikation) oder die Verwendung falscher Umrechnungsfaktoren (z.B. 10 oder 100 statt 1.000).