## 1000 **A) $\vec{c} = (-1;-7)$** Um den Vektor $\vec{c}$ zu bestimmen, der die Gleichung $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ erfüllt, müssen wir nach $\vec{c}$ auflösen: $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$ Zuerst berechnen wir die Summe von $\vec{a}$ und $\vec{b}$: $\vec{a} + \vec{b} = (2;3) + (-1;4) = (2+(-1);3+4) = (1;7)$ Nun multiplizieren wir dieses Ergebnis mit $-1$, um $\vec{c}$ zu erhalten: $\vec{c} = -(1;7) = (-1;-7)$ Die Antwort A ist korrekt, weil nur der Vektor $\vec{c} = (-1;-7)$ die Gleichung erfüllt. Man kann dies überprüfen, indem man alle drei Vektoren addiert: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (2;3) + (-1;4) + (-1;-7) = (0;0) = \vec{0}$ Die anderen Antwortoptionen ergeben bei der Addition mit $\vec{a}$ und $\vec{b}$ nicht den Nullvektor. ## 1001 **A) 2** Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet man, indem man die entsprechenden Komponenten miteinander multipliziert und dann addiert. $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$ Für die gegebenen Vektoren $\vec{a} = (2,-4)$ und $\vec{b} = (-3,-2)$ ergibt sich: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + (-4) \cdot (-2)$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = -6 + 8$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ Das Ergebnis ist also 2, was der Antwort A entspricht. Die anderen Antworten sind falsch, weil bei ihnen entweder Rechenfehler gemacht wurden oder die Regel für das Skalarprodukt nicht korrekt angewendet wurde. Zum Beispiel würde man -8 erhalten, wenn man das Vorzeichen bei der Multiplikation von (-4) und (-2) falsch berücksichtigt. 1.002 C) $\vec{c} = (0,4)$ Um den Summenvektor $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ zu berechnen, addiere ich die entsprechenden Komponenten der Vektoren $\vec{a} = (-2,4)$ und $\vec{b} = (2,0)$: $\begin{equation} \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (-2,4) + (2,0) = (-2+2, 4+0) = (0,4) \end{equation}$ Bei der Vektoraddition werden einfach die x-Komponenten und die y-Komponenten jeweils miteinander addiert. Die x-Komponenten ergeben $-2+2=0$ und die y-Komponenten ergeben $4+0=4$, was zum Ergebnis $(0,4)$ führt. Die anderen Antwortoptionen sind falsch, weil dort die Komponenten nicht korrekt addiert wurden. Zum Beispiel wurde bei Option A vermutlich subtrahiert statt addiert, und bei den Optionen B, D und E wurden die Komponenten vertauscht oder falsch berechnet. ## 1002 **C)** $\vec{c} = (0,4)$ Um den Summenvektor $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ zu berechnen, addiere ich die entsprechenden Komponenten der Vektoren $\vec{a} = (-2,4)$ und $\vec{b} = (2,0)$: $\begin{equation} \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (-2,4) + (2,0) = (-2+2, 4+0) = (0,4) \end{equation}$ Bei der Vektoraddition werden einfach die x-Komponenten und die y-Komponenten jeweils miteinander addiert. Die x-Komponenten ergeben $-2+2=0$ und die y-Komponenten ergeben $4+0=4$, was zum Ergebnis $(0,4)$ führt. ## 1003 **B) gerundet 7,1** Um den Betrag des Vektors $\vec{C}$ zu berechnen, müssen wir zuerst die Vektoraddition $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B} - \vec{D}$ durchführen: $\vec{A} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{B} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{D} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B} - \vec{D} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$ $\vec{C} = \begin{pmatrix} -2+2-1 \\ 4+0-(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 7 \end{pmatrix}$ Nun berechnen wir den Betrag des Vektors $\vec{C}$ mit der Formel: $|\vec{C}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ $|\vec{C}| = \sqrt{(-1)^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \approx 7,07$ Gerundet auf eine Nachkommastelle ergibt das 7,1, was der Antwort B entspricht. ## 1004 **A) $(-1,-6)$ mit $|\vec{AB}| = \sqrt{37}$** Um den Vektor $\vec{AB}$ zu bestimmen, subtrahiere ich die Koordinaten des Anfangspunkts A vom Endpunkt B: $\vec{AB} = B - A = (1|-3) - (2|3) = (1-2|-3-3) = (-1|-6)$ Der Betrag eines Vektors wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet: $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 36} = \sqrt{37}$ Die Antwort A ist korrekt, da sowohl der Vektor $\vec{AB} = (-1,-6)$ als auch sein Betrag $|\vec{AB}| = \sqrt{37}$ richtig berechnet wurden. Die anderen Optionen enthalten falsche Vektoren oder Beträge. Zum Beispiel gibt Option B einen völlig falschen Vektor an, und Option C unterschätzt den Betrag erheblich. Die Optionen D und E verwenden falsche Koordinaten für den Vektor. ## 1005 **A) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$** Zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ stehen genau dann senkrecht (orthogonal) zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. Das Skalarprodukt berechnet sich durch: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ wobei $\theta$ der Winkel zwischen den Vektoren ist. Wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen, beträgt der Winkel 90°. Da $\cos(90°) = 0$ ist, wird das gesamte Skalarprodukt null. Die anderen Antwortmöglichkeiten sind falsch: - B) $\vec{a} + \vec{b} = 0$ beschreibt entgegengesetzte Vektoren (antiparallel), nicht senkrechte - C) $\vec{a} \times \vec{b} = 0$ gilt, wenn Vektoren parallel sind, nicht wenn sie senkrecht sind - D) $\vec{a} - \vec{b} = 0$ bedeutet, dass die Vektoren identisch sind - E) $\frac{\vec{a}}{\vec{b}} = 0$ ist mathematisch nicht definiert, da die Division von Vektoren keine Standardoperation ist ## 1006 **C) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$** Der Richtungsvektor $\vec{a}$ zwischen zwei Punkten A und B wird berechnet, indem man die Koordinaten des Anfangspunkts von denen des Endpunkts subtrahiert. Mit A(-1,1) und B(3,2) ergibt sich: $\begin{equation} \vec{a} = \vec{AB} = B - A = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-(-1) \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{equation}$ Die anderen Antwortoptionen enthalten entweder falsche Vorzeichen (D und E) oder falsche Werte für die y-Komponente (B mit 3 statt 1, A und E mit negativen Werten). ## 1007 **C) ist eine skalare Größe.** Der Betrag eines Vektors ist eine skalare Größe, also eine Zahl ohne Richtung. Er gibt lediglich die Länge oder Größe des Vektors an. Wenn wir beispielsweise einen Vektor $\vec{v}$ haben, dann wird sein Betrag als $|\vec{v}|$ geschrieben und ist immer positiv oder null. Die anderen Antwortoptionen sind falsch: - A) ist falsch, weil der Betrag keine Richtung hat, während der Ausgangsvektor eine Richtung besitzt - B) ist falsch, weil der Betrag durch eine Wurzel aus der Summe der quadrierten Komponenten berechnet wird, nicht durch Addition von Vektoren - D) ist falsch, weil der Betrag keine geometrische Beziehung (wie Normalität) zum Ausgangsvektor hat - E) ist falsch, weil der Betrag eines Vektors immer positiv oder null ist, nie negativ Beispiel: Für einen Vektor $\vec{v} = (3,4)$ beträgt der Betrag $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, was eine skalare Größe (einfache Zahl) ist. ## 1008 **A) Die Differenz entspricht dem Vektor, der vom Endpunkt von $\vec{b}$ zum Endpunkt von $\vec{a}$ zeigt.** Die Vektordifferenz $\vec{a} - \vec{b}$ lässt sich geometrisch am besten verstehen, wenn wir beide Vektoren vom Ursprung aus zeichnen. Um die Differenz zu bilden, können wir die Vektoraddition nutzen: $\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$. Dabei ist $-\vec{b}$ der zu $\vec{b}$ entgegengesetzte Vektor. Wenn wir nun $\vec{a}$ und $-\vec{b}$ nach der Parallelogrammregel addieren, erhalten wir einen Vektor, der genau vom Endpunkt von $\vec{b}$ zum Endpunkt von $\vec{a}$ zeigt. Die anderen Optionen sind falsch: - Option B beschreibt den Mittelpunktsvektor $\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$, nicht die Differenz. - Option C ist zwar mathematisch korrekt (da $-\vec{b}$ tatsächlich die Spiegelung von $\vec{b}$ am Ursprung ist), beschreibt aber nicht die geometrische Bedeutung der Differenz. - Option D beschreibt genau das Gegenteil der richtigen Antwort, nämlich $\vec{b}-\vec{a}$. - Option E verwechselt die Differenz mit dem arithmetischen Mittel $\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$. ## 1009 **E) $\hat{v} = \left(\frac{5}{13}, \frac{-12}{13}\right)$** Um den Einheitsvektor $\hat{v}$ zu einem gegebenen Vektor $\vec{v}$ zu berechnen, muss man den Vektor durch seinen Betrag teilen: $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ Für den Vektor $\vec{v} = (5, -12)$ berechnen wir zuerst den Betrag: $|\vec{v}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ Nun teilen wir jede Komponente des Vektors durch diesen Betrag: $\hat{v} = \frac{(5, -12)}{13} = \left(\frac{5}{13}, \frac{-12}{13}\right)$ Die anderen Antwortoptionen sind falsch, weil: - Option A teilt durch $169$ statt durch $13$ - Option B teilt jede Komponente durch ihren eigenen Wert - Option C verwendet falsche Komponenten im Zähler - Option D normiert den Vektor nicht korrekt ## 1010 A) $x = -\frac{8}{3}$ Zwei Vektoren stehen senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist. Das Skalarprodukt berechnet sich durch Multiplikation der entsprechenden Komponenten und anschließende Addition: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 = 0$ Für unsere Vektoren $\vec{a} = (3, 4)$ und $\vec{b} = (x, 2)$ bedeutet das: $3 \cdot x + 4 \cdot 2 = 0$ $3x + 8 = 0$ $3x = -8$ $x = -\frac{8}{3}$ Der Wert $x = -\frac{8}{3}$ ist also korrekt, da nur mit diesem Wert die Vektoren senkrecht zueinander stehen. Die anderen Antwortoptionen erfüllen die Bedingung des Skalarprodukts gleich Null nicht. ## 1011 **B) $\vec{n} = (-4, 4)$** Um zu prüfen, ob ein Vektor senkrecht auf einem anderen steht, berechnen wir das Skalarprodukt. Wenn das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren senkrecht zueinander. Zuerst bestimme ich den Verbindungsvektor $\vec{PQ}$: $\vec{PQ} = Q - P = (7, 5) - (3, 1) = (4, 4)$ Nun prüfe ich, ob Vektor B senkrecht zu $\vec{PQ}$ steht: $\vec{PQ} \cdot \vec{n}_B = (4, 4) \cdot (-4, 4)$ $= 4 \cdot (-4) + 4 \cdot 4$ $= -16 + 16$ $= 0$ Da das Skalarprodukt null ist, steht Vektor B tatsächlich senkrecht auf $\vec{PQ}$. Bei den anderen Vektoren ergibt das Skalarprodukt mit $\vec{PQ}$ nicht null: - Vektor A: $(4,4) \cdot (4,4) = 16 + 16 = 32 \neq 0$ - Vektor C: $(4,4) \cdot (2,-1) = 8 - 4 = 4 \neq 0$ - Vektor D: $(4,4) \cdot (1,1) = 4 + 4 = 8 \neq 0$ - Vektor E: $(4,4) \cdot (-2,3) = -8 + 12 = 4 \neq 0$