## 923 **B) Das Volumen beträgt 36π cm³.** Das Volumen einer Kugel berechnet man mit der Formel: $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ Für eine Kugel mit Radius 3 cm: $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 27 = 36\pi \text{ cm}^3$ Die Oberfläche einer Kugel berechnet man mit: $A = 4 \cdot \pi \cdot r^2 = 4 \cdot \pi \cdot 3^2 = 4 \cdot \pi \cdot 9 = 36\pi \text{ cm}^2$ Die anderen Optionen sind falsch, weil sie entweder falsche Werte für die Oberfläche angeben (A, C, E) oder ein falsches Volumen (D). Option A und C verwechseln möglicherweise die Formeln, während D das Volumen als $3 \cdot \pi \cdot r^3$ berechnet haben könnte, was nicht korrekt ist. ## 924 **A) Der Inkreismittelpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt fallen zusammen. ** In einem gleichseitigen Dreieck fallen tatsächlich alle wichtigen Dreieckspunkte - der Inkreismittelpunkt, der Umkreismittelpunkt und der Schwerpunkt - in einem Punkt zusammen. Dies ist eine besondere Eigenschaft, die nur gleichseitige Dreiecke besitzen und die sich aus ihrer perfekten Symmetrie ergibt. Die anderen Optionen sind falsch: Die Winkel eines gleichseitigen Dreiecks betragen jeweils 60° (nicht 45°), der Flächeninhalt berechnet sich als A = (c × h)/2 (nicht /3), und der Umkreisradius ist doppelt so groß wie der Inkreisradius. Die Aussage über die Höhensenkrechte ist ebenfalls nicht korrekt - sie wird im Verhältnis 2:1 durch den Inkreismittelpunkt geteilt. ## 925 **B) 4-fache** Die Oberfläche eines Würfels berechnet sich aus der Formel $A = 6a^2$, wobei $a$ die Kantenlänge ist. Wenn die Kantenlänge verdoppelt wird, wird jede quadratische Seitenfläche viermal so groß, da die Fläche quadratisch mit der Länge wächst ($2a \times 2a = 4a^2$). Da der Würfel sechs gleich große Flächen hat, vervierfacht sich auch die Gesamtoberfläche. Dies ist ein wichtiges Beispiel für quadratisches Wachstum: Während die Kantenlänge linear (2-fach) zunimmt, wächst die Fläche quadratisch (4-fach). Das 8-fache würde übrigens dem Volumen entsprechen, da dieses mit der dritten Potenz der Kantenlänge wächst. ## 926 **B) A = $\frac{3}{4} \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot \pi$** Die Kreisfläche eines Dreiviertelkreises beträgt drei Viertel der Fläche eines vollständigen Kreises. Die Formel für einen ganzen Kreis lautet A = $\pi r^2$ oder A = $\pi \left(\frac{d}{2}\right)^2$, da der Radius die Hälfte des Durchmessers ist. Für einen Dreiviertelkreis multiplizieren wir diese Formel mit $\frac{3}{4}$, was zu A = $\frac{3}{4} \left(\frac{d}{2}\right)^2 \cdot \pi$ führt. Option D sieht ähnlich aus, vertauscht aber die Reihenfolge der Faktoren und verwendet fälschlicherweise $d^2$ statt $\left(\frac{d}{2}\right)^2$, was zu einem viermal zu großen Ergebnis führt. Die anderen Optionen verwenden falsche Brüche oder falsche Potenzen des Durchmessers. ## 927 **E) Keine der Antworten ist richtig.** Das Volumen einer Pyramide berechnet sich nach der Formel: $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ Dabei ist: - $G$ die Grundfläche - $h$ die Höhe der Pyramide Bei einer quadratischen Pyramide mit Seitenlänge 6 m ist die Grundfläche: $G = 6 \text{ m} \cdot 6 \text{ m} = 36 \text{ m}^2$ Das Volumen beträgt somit: $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \text{ m}^2 \cdot 8 \text{ m} = \frac{1}{3} \cdot 288 \text{ m}^3 = 96 \text{ m}^3$ Da 96 m³ unter keiner der angegebenen Antwortmöglichkeiten A) bis D) zu finden ist, ist E) die richtige Lösung. Die anderen Antworten sind falsch, weil sie entweder mit falschen Formeln berechnet wurden oder Rechenfehler enthalten. ## 928 **C) Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt 270°.** Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt immer 360° und nicht 270°. Dies lässt sich leicht nachvollziehen, indem man ein Viereck durch eine Diagonale in zwei Dreiecke teilt. Da jedes Dreieck eine Winkelsumme von 180° hat, ergibt sich für das gesamte Viereck eine Summe von 2 × 180° = 360°. Alle anderen Aussagen sind korrekt: Die Volumenformel des Zylinders ($\pi r^2h$), die Definition des Sinus, die Kugeloberfläche ($4\pi r^2$) und die Kreisfläche als Grundfläche des Kegels ($\pi r^2$) sind grundlegende geometrische Formeln. ## 929 **C) 0,64 m²** Die Oberfläche eines Zylinders berechnet sich mit der Formel: $A = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot h$ Dabei ist: - $r$ = Radius = 5 cm = 0,05 m - $h$ = Höhe = 2 m Einsetzen der Werte: $A = 2 \cdot \pi \cdot (0,05 \text{ m})^2 + 2\pi \cdot 0,05 \text{ m} \cdot 2 \text{ m}$ $A = 2 \cdot \pi \cdot 0,0025 \text{ m}^2 + 2\pi \cdot 0,05 \text{ m} \cdot 2 \text{ m}$ $A = 0,01571 \text{ m}^2 + 0,6283 \text{ m}^2$ $A = 0,64401 \text{ m}^2$ Gerundet auf zwei Nachkommastellen: $A = 0,64 \text{ m}^2$ Die anderen Antworten sind falsch, weil entweder die Umrechnung von cm in m nicht korrekt durchgeführt wurde oder die Formel falsch angewendet wurde. ## 930 **D) doppelt** Das Verhältnis der Durchmesser lässt sich über die Volumenformel der Kugel herleiten. Da das Volumen einer Kugel proportional zur dritten Potenz des Durchmessers ist ($V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\frac{d}{2})^3$), muss man für das Verhältnis der Durchmesser die dritte Wurzel aus dem Volumenverhältnis ziehen. Das Volumenverhältnis beträgt 8000:1000 = 8:1. Die dritte Wurzel aus 8 ist 2, da $2^3 = 8$. Somit ist der Durchmesser der Leberzelle doppelt so groß wie der der Hautzelle. Die anderen Optionen überschätzen das Verhältnis deutlich, da sie den kubischen Zusammenhang zwischen Volumen und Durchmesser nicht berücksichtigen. ## 931 **C) V = a · b · c** Das Volumen eines Quaders berechnet sich durch Multiplikation seiner drei Kantenlängen a, b und c. Dies lässt sich anschaulich verstehen: Die Grundfläche ist ein Rechteck mit der Fläche a · b, und wenn man diese mit der Höhe c multipliziert, erhält man das Volumen. Die falschen Optionen verwechseln entweder die Volumenberechnung mit der Oberflächenberechnung (D), addieren die Kanten statt sie zu multiplizieren (E), oder führen unnötige Operationen durch (A und B). Die Formel V = a · b · c ist die einfachste und korrekte Methode, das Volumen eines Quaders zu bestimmen. ## 932 **B) $\frac{a}{2}\sqrt{3}$** In einem gleichseitigen Dreieck teilt die Höhe h das Dreieck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Die Höhe steht dabei senkrecht auf der Grundseite und teilt diese in zwei gleiche Hälften ($\frac{a}{2}$). Mit dem Satz des Pythagoras und dem bekannten Winkel von 60° lässt sich die Höhe berechnen: In dem entstehenden rechtwinkligen Dreieck ist die Ankathete $\frac{a}{2}$ und die Hypotenuse a. Über die trigonometrische Beziehung $\sin(60°)=\frac{h}{a}$ oder den Satz des Pythagoras ergibt sich die Höhe als $h=\frac{a}{2}\sqrt{3}$. Die anderen Optionen verwenden entweder falsche Faktoren oder vermischen verschiedene Formeln des gleichseitigen Dreiecks. ## 933 **C) V = 187 cm³** Das Volumen eines Prismas berechnet man mit der Formel $V = G \cdot h$, wobei G die Grundfläche und h die Höhe ist. Bei einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a = 6 cm berechnet sich die Fläche mit $G = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$. Eingesetzt ergibt das $G = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 36 = 9\sqrt{3} \approx 15,59$ cm². Multipliziert mit der Höhe h = 12 cm erhalten wir $V = 15,59 \cdot 12 \approx 187$ cm³. Die anderen Antworten resultieren aus falschen Formeln für die Dreiecksfläche oder Rundungsfehlern bei der Berechnung. ## 934 **E) 5** Um den Cosinus eines Winkels zu berechnen, benötigst du die richtige Kombination aus Seiten und Winkeln. Der Cosinus von $\alpha$ ist definiert als $\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ im rechtwinkligen Dreieck. Diese Werte sind nur im Dreieck Nummer 5 gegeben. ## 935 **C) r = ∛(3V/4π)** Um den Radius r aus der Volumenformel V = 4/3 πr³ zu berechnen, müssen wir die Formel nach r umstellen. Dafür multiplizieren wir zunächst beide Seiten mit 3/(4π), wodurch wir 3V/(4π) = r³ erhalten. Um dann r zu isolieren, müssen wir die dritte Wurzel (Kubikwurzel) aus beiden Seiten ziehen, was zu r = ∛(3V/4π) führt. Die anderen Optionen sind mathematisch falsch: Bei A ist der Bruch innerhalb der Wurzel invertiert, B und D verwenden falsche Exponenten, und E vertauscht Multiplikation und Division sowie die Position der Kubikwurzel. ## 936 **B) Eine Pyramide mit einer quadratischen Basis hat immer eine symmetrische Form, unabhängig von der Höhe.** Eine Pyramide mit quadratischer Basis besitzt stets eine symmetrische Form, da die vier Seitenkanten vom Scheitelpunkt zur quadratischen Grundfläche gleich lang sind. Diese Symmetrie bleibt erhalten, egal wie hoch oder flach die Pyramide ist. Die anderen Optionen enthalten Fehler: Die Höhe einer Pyramide hängt nicht von den Basiskanten ab (A), eine dreieckige Pyramide kann durchaus spitz sein (C), das Verhältnis zwischen Basis- und Seitenflächen hängt von den konkreten Abmessungen ab (D), und eine Pyramide hat genau so viele Seitenflächen wie die Basis Ecken hat, nicht eine weniger (E). ## 937 **D) Ein stumpfwinkeliges Dreieck** Nach dem Kosinussatz lässt sich der größte Winkel im Dreieck berechnen. Mit den Seitenlängen a=8 cm, b=5 cm und c=4 cm ergibt sich für den Winkel $\alpha$ gegenüber der längsten Seite: $\cos(\alpha) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 16 - 64}{2 \cdot 5 \cdot 4} = -0,575$. Dies entspricht einem Winkel von etwa 125°. Da dieser Winkel größer als 90° ist, handelt es sich um ein stumpfwinkeliges Dreieck. Die anderen Optionen können ausgeschlossen werden: Das Dreieck ist weder rechtwinklig (90°), noch gleichseitig (alle Seiten gleich lang) oder gleichschenkelig (zwei gleiche Seiten). Ein spitzwinkliges Dreieck hätte nur Winkel kleiner als 90°. ## 938 **B) $A = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c)$** Die Oberfläche eines Quaders setzt sich aus sechs Rechteckflächen zusammen - je zwei gegenüberliegende Flächen sind dabei gleich groß. Die vordere und hintere Fläche haben die Maße $a \cdot b$, die obere und untere Fläche $a \cdot c$ und die beiden Seitenflächen $b \cdot c$. Da jede dieser Flächenarten zweimal vorkommt, wird die Summe der Einzelflächen mit 2 multipliziert. Die anderen Optionen sind falsch: A addiert nur die Kantenlängen, C berechnet das Volumen, D verdoppelt fälschlicherweise das Volumen und E quadriert den Umfang, was keine geometrische Bedeutung hat. ## 939 **B) 3. ist richtig** Bei einer Kugel hängen Oberfläche und Volumen unterschiedlich stark vom Radius ab: Die Oberfläche wächst quadratisch ($A = 4\pi r^2$), das Volumen kubisch ($V = \frac{4}{3}\pi r^3$). Wenn man den Radius verdoppelt, steigt die Oberfläche auf das 4-fache ($(2r)^2 = 4r^2$), während das Volumen auf das 8-fache wächst ($(2r)^3 = 8r^3$). ## 940 **D) 19,52%** Bei dieser Aufgabe geht es um die Volumenerhaltung eines Muskels bei Kontraktion. Gegeben: - Länge im entspannten Zustand: $L_1 = 2$ cm - Durchmesser im entspannten Zustand: $D_1$ - Längenverkürzung bei Kontraktion: 30% - Volumen bleibt konstant Berechnung: Das Volumen eines Zylinders ist: $V = \pi \cdot \left(\frac{D}{2}\right)^2 \cdot L = \frac{\pi \cdot D^2 \cdot L}{4}$ Da das Volumen konstant bleibt, gilt: $V_1 = V_2$ $\frac{\pi \cdot D_1^2 \cdot L_1}{4} = \frac{\pi \cdot D_2^2 \cdot L_2}{4}$ Die neue Länge $L_2$ ist 70% der ursprünglichen Länge: $L_2 = 0,7 \cdot L_1$ Einsetzen und umformen: $D_1^2 \cdot L_1 = D_2^2 \cdot L_2$ $D_1^2 \cdot L_1 = D_2^2 \cdot 0,7 \cdot L_1$ $D_1^2 = D_2^2 \cdot 0,7$ $\frac{D_1^2}{0,7} = D_2^2$ $D_2 = D_1 \cdot \sqrt{\frac{1}{0,7}} = D_1 \cdot \sqrt{\frac{10}{7}} \approx D_1 \cdot 1,1952$ Der Durchmesser nimmt also um 19,52% zu. Dies ist notwendig, damit bei der Verkürzung des Muskels das Volumen konstant bleibt. ## 941 **D) 2. und 3. sind richtig.** Bei einem Würfel mit Kantenlänge a gilt: Volumen = a³ und Oberfläche = 6a². Wenn du die Kantenlänge verdreifachst (a → 3a), dann wird das Volumen (3a)³ = 27a³, also das 27-fache des ursprünglichen Volumens. Die Oberfläche wird zu 6(3a)² = 6·9a² = 54a², also das 9-fache der ursprünglichen Oberfläche. Aussage 2 (Oberfläche wird 9-mal größer) und Aussage 3 (Volumen wird 27-mal größer) sind daher richtig. Aussage 1 ist falsch, da das Volumen nicht nur 9-mal größer wird, und Aussage 4 ist falsch, da die Oberfläche nicht 6-mal, sondern 9-mal größer wird. ## 942 **C) Netz 4** Ein regelmäßiges Tetraeder besteht aus vier kongruenten gleichseitigen Dreiecken. Seine Abwicklung muss daher genau vier gleichseitige Dreiecke enthalten, die so angeordnet sind, dass sie beim Zusammenfalten ein geschlossenes dreidimensionales Objekt bilden. Netz 4 zeigt die korrekte T-förmige Anordnung, bei der drei Dreiecke in einer Reihe liegen und das vierte mittig an einer Seite anschließt. Beim Zusammenfalten treffen sich die äußeren Dreiecke exakt an ihren Kanten, ohne Lücken oder Überlappungen. Die anderen Netze sind entweder nicht zusammenhängend, haben zu viele oder zu wenige Dreiecke, oder ihre Anordnung würde beim Falten kein geschlossenes Tetraeder ergeben. ## 943 **A) Das Volumen des Prismas kann mit der Formel $V = A_{Grundfläche} \cdot h$ berechnet werden, wobei $A_{Grundfläche} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.** Das Volumen eines Prismas wird stets durch Multiplikation der Grundfläche mit der Höhe berechnet. Bei einem Parallelogramm als Grundfläche muss beachtet werden, dass die Fläche nicht einfach $a \cdot b$ ist, sondern $a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, wobei $\alpha$ der eingeschlossene Winkel ist. Der Sinus-Term berücksichtigt, dass die Fläche kleiner wird, je spitzer der Winkel ist. Die anderen Optionen sind falsch, weil sie entweder den Winkel ignorieren (B und D), den falschen trigonometrischen Term verwenden (C) oder die Summe der Seitenflächen statt der Grundfläche betrachten (E). ## 944 **A) 1. und 2. sind richtig.** Das Volumen eines Zylinders berechnet sich mit $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$. Wenn sowohl Radius als auch Höhe verdreifacht werden, ergibt sich $V_{neu} = \pi \cdot (3r)^2 \cdot 3h = \pi \cdot 9r^2 \cdot 3h = 27 \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = 27 \cdot V_{alt}$. Das Volumen steigt also auf das 27-fache. Die Oberfläche eines Zylinders berechnet sich mit $A = 2\pi r^2 + 2\pi r h$. Mit den verdreifachten Werten erhalten wir $A_{neu} = 2\pi (3r)^2 + 2\pi (3r) (3h) = 2\pi \cdot 9r^2 + 2\pi \cdot 3r \cdot 3h = 18\pi r^2 + 18\pi r h = 9 \cdot (2\pi r^2 + 2\pi r h) = 9 \cdot A_{alt}$. Die Oberfläche steigt somit auf das 9-fache. Aussagen 1 und 2 sind richtig. ## 945 **B) Die Raumdiagonale im Würfel ist Seitenlänge mal $\sqrt{2}$** Die Aussage ist falsch, denn die Raumdiagonale eines Würfels berechnet sich durch Seitenlänge mal $\sqrt{3}$. Dies lässt sich mit dem Satz des Pythagoras im dreidimensionalen Raum herleiten: Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken des Würfels und durchquert dabei drei rechtwinklige Kanten. Wenn die Seitenlänge a ist, ergibt sich die Länge der Raumdiagonale d aus $d = a\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = a\sqrt{3}$. Die anderen Aussagen sind alle korrekt: Ein Zylinder hat einen kreisförmigen Grundriss, die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°, die Kugeloberfläche wird durch $4\pi r^2$ berechnet und das Zylindervolumen ist Grundfläche mal Höhe. ## 946 **B) Bei einem beliebigen Dreieck 180°** Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt immer 180°, unabhängig von der Form des Dreiecks. Dies ist ein fundamentaler Satz der Geometrie und gilt für alle Dreiecke - egal ob gleichseitig, rechtwinklig oder unregelmäßig. Man kann dies leicht nachvollziehen, indem man eine Parallele zur Grundseite durch die Spitze des Dreiecks zieht: Die entstehenden Winkel an der Spitze ergeben zusammen mit dem Basiswinkel genau 180°. Die falschen Optionen verwechseln entweder die Winkelsumme mit der eines Vierecks (360°), nennen falsche Werte (160°) oder schränken die 180°-Regel fälschlicherweise auf rechtwinklige Dreiecke ein. ## 947 **B) Die Oberfläche beträgt 184 cm².** Um die Oberfläche des Prismas zu berechnen, addiere ich die Flächen aller Seiten. Zuerst bestimme ich die Grundfläche: Ein gleichschenkliges Dreieck mit Grundseite 6 cm und Höhe 4 cm hat die Fläche $A_G = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 4 \text{ cm} = 12 \text{ cm}^2$. Diese Fläche kommt zweimal vor (oben und unten), also $2 \cdot 12 \text{ cm}^2 = 24 \text{ cm}^2$. Für die Seitenflächen benötige ich die Schenkellänge des Dreiecks: $c = \sqrt{(3 \text{ cm})^2 + (4 \text{ cm})^2} = 5 \text{ cm}$. Die drei Seitenflächen sind Rechtecke mit den Flächen: $6 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 60 \text{ cm}^2$ und $2 \cdot 5 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 100 \text{ cm}^2$. Gesamtoberfläche: $24 \text{ cm}^2 + 60 \text{ cm}^2 + 100 \text{ cm}^2 = 184 \text{ cm}^2$. ## 948 **A) Die Bogenlänge des Kreissektors beträgt 4π cm.** Die Bogenlänge eines Kreissektors berechnet sich mit der Formel $b = r \cdot \alpha$, wobei $r$ der Radius und $\alpha$ der Mittelpunktswinkel im Bogenmaß ist. Der Winkel von 120° entspricht $\frac{120°}{180°} \cdot \pi = \frac{2\pi}{3}$ Radiant. Mit dem Radius $r = 6$ cm ergibt sich die Bogenlänge als $b = 6 \cdot \frac{2\pi}{3} = 4\pi$ cm. Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt $A = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \alpha = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = 12\pi$ cm², was Option B widerlegt. Die anderen Optionen enthalten falsche Werte für Bogenlänge oder Flächeninhalt. ## 949 **B) Der Winkel γ beträgt 90°.** Nach dem Satz des Pythagoras gilt in einem rechtwinkligen Dreieck: a² + b² = c². Mit den gegebenen Seitenlängen können wir überprüfen: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Da diese Gleichung erfüllt ist, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel (90°) liegt dabei immer der längsten Seite gegenüber, also der Seite c = 10 cm. Somit ist γ = 90°. Die anderen Antwortoptionen sind falsch, da ein Dreieck mit diesen Seitenlängen eindeutig rechtwinklig ist und keine anderen Winkelmaße für γ möglich sind.