## 974 **E) Keine der Antwortoptionen ist richtig.** Um diese Aufgabe zu lösen, berechne ich jeden Teil der Gleichung einzeln: $log_{10}(100) = log_{10}(10^2) = 2$ $ln(e) = ln(e^1) = 1$ $5^0 = 1$ (Jede Zahl mit Exponent 0 ergibt 1) $e^0 = 1$ (Auch die Euler'sche Zahl mit Exponent 0 ergibt 1) Nun addiere ich alle Teilergebnisse: $y = 2 + 1 + 1 + 1 = 5$ Da das Ergebnis 5 ist und keine der Antwortoptionen A bis D diesen Wert enthält, ist E die richtige Antwort. ## 975 **A) $F(x) = \frac{3}{5}x^5 + c$** Um das unbestimmte Integral von $f(x) = 3x^4$ zu bestimmen, wendest du die Potenzregel der Integration an: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ Bei $f(x) = 3x^4$ ist der Koeffizient 3 und der Exponent 4. Du erhöhst den Exponenten um 1 und teilst durch diesen neuen Wert: $\int 3x^4 dx = 3 \cdot \int x^4 dx = 3 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + c = 3 \cdot \frac{x^5}{5} + c = \frac{3}{5}x^5 + c$ Die anderen Antwortoptionen sind falsch: - Option B ($\frac{1}{4}x^5 + c$) verwendet den falschen Nenner und ignoriert den Koeffizienten 3. - Option C ($3x^3$) verringert den Exponenten statt ihn zu erhöhen. - Option D ($12x^3$) multipliziert mit dem Exponenten statt zu teilen und verringert den Exponenten. - Option E ($12x$) führt mehrere falsche Operationen durch. ## 976 **A) y = ln(x)** Um zu prüfen, ob eine Funktion bei x = 1 den Funktionswert 0 hat, setzen wir x = 1 in die Funktion ein und schauen, ob f(1) = 0 gilt. Für y = ln(x) gilt: $f(1) = ln(1) = 0$ Der natürliche Logarithmus von 1 ist immer 0, daher erfüllt diese Funktion die gesuchte Bedingung. Die anderen Optionen ergeben bei x = 1 nicht den Wert 0: - B) y = x² + 1: f(1) = 1² + 1 = 2 - C) y = e^x: f(1) = e^1 = e ≈ 2,718 - D) y = ln(x) + 1: f(1) = ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1 - E) y = e^(-x): f(1) = e^(-1) = 1/e ≈ 0,368 Merke dir: Der natürliche Logarithmus von 1 ist immer 0, was eine wichtige Eigenschaft dieser Funktion ist. ## 977 **A) tan(a) = Gegenkathete / Ankathete** Im rechtwinkligen Dreieck sind die trigonometrischen Funktionen durch bestimmte Seitenverhältnisse definiert: Der Tangens eines Winkels (tan(a)) ist tatsächlich das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Du kannst dir das merken mit der Eselsbrücke TOA: Tangens = Opposite (Gegenkathete) / Adjacent (Ankathete). Die anderen Definitionen sind falsch: - sin(a) ist eigentlich Gegenkathete/Hypothenuse (nicht Ankathete/Hypothenuse) - cos(a) ist eigentlich Ankathete/Hypothenuse (nicht Gegenkathete/Hypothenuse) - Option D vertauscht die Definition des Tangens mit der des Sinus - Option E stellt ein Verhältnis dar, das in der Trigonometrie nicht als Standardfunktion definiert ist Die drei Grundfunktionen kannst du dir mit SOH-CAH-TOA merken: - Sinus = Opposite/Hypotenuse (Gegenkathete/Hypothenuse) - Cosinus = Adjacent/Hypotenuse (Ankathete/Hypothenuse) - Tangens = Opposite/Adjacent (Gegenkathete/Ankathete) ## 978 **E) Der dekadische Logarithmus einer positiven Zahl ist größer als ihr natürlicher Logarithmus.** Diese Aussage ist nicht korrekt. Tatsächlich ist der dekadische Logarithmus (Basis 10) einer positiven Zahl kleiner als ihr natürlicher Logarithmus (Basis e ≈ 2,718), sofern die Zahl größer als 1 ist. Dies lässt sich mathematisch begründen: Da die Basis des dekadischen Logarithmus (10) größer ist als die Basis des natürlichen Logarithmus (e ≈ 2,718), und Logarithmen mit größerer Basis kleinere Werte liefern, gilt für alle Zahlen x > 1: $\log_{10}(x) < \ln(x)$ Du kannst das mit einem Beispiel überprüfen: Für x = 100: $\log_{10}(100) = 2$ $\ln(100) ≈ 4,605$ Die anderen Aussagen sind korrekt: A) Tangens- und Cotangensfunktion haben tatsächlich Definitionslücken B) Der natürliche Logarithmus verwendet die Euler'sche Zahl e als Basis C) Stammfunktionen werden durch Integration bestimmt D) Die Cosinusfunktion ist gegenüber der Sinusfunktion um 90° phasenverschoben ## 979 **C) -2** Der Logarithmus zur Basis 10 (log10) von 0,01 ist -2, weil: $0,01 = \frac{1}{100} = \frac{1}{10^2} = 10^{-2}$ Wenn du eine Zahl als Zehnerpotenz schreibst, dann ist der Logarithmus zur Basis 10 genau der Exponent dieser Zehnerpotenz. Da $0,01 = 10^{-2}$ ist, gilt $\log_{10}(0,01) = -2$. Die anderen Antwortoptionen sind falsch: - A) 10: Dies wäre der Wert, wenn die Frage nach $10^{0,01}$ gefragt hätte - B) 0: Dies wäre $\log_{10}(1)$, da $10^0 = 1$ - D) 1: Dies wäre $\log_{10}(10)$, da $10^1 = 10$ - E) -10: Dies wäre $\log_{10}(10^{-10})$, also viel kleiner als 0,01 ## 980 **C) Tangens** Die abgebildete Funktion ist der Tangens. Du kannst den Tangens an seinen charakteristischen Eigenschaften erkennen: 1. Die Funktion hat Polstellen (vertikale Asymptoten), an denen der Funktionswert gegen unendlich geht. Diese Polstellen liegen bei $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (also bei $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$, usw.). 2. Die Funktion schneidet die x-Achse bei $x = 0$, $x = \pi$, $x = 2\pi$, usw. (allgemein bei $x = n\pi$). 3. Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, was bedeutet, dass $\tan(-x) = -\tan(x)$. Im Gegensatz dazu: - Sinus und Cosinus haben keine Polstellen und sind auf einen Wertebereich von -1 bis 1 beschränkt - Cotangens hat zwar auch Polstellen, aber an anderen Stellen (bei $x = n\pi$) - Sinus hyperbolicus hat einen völlig anderen Kurvenverlauf ohne Polstellen ## 981 **B) 10 Dezibel** Die Beziehung zwischen Schallpegel und Intensität folgt einer logarithmischen Funktion. Laut der Aufgabenstellung entspricht eine Verzehnfachung der Schallintensität immer einer Erhöhung des Schallpegels um 10 Dezibel. Dies ist eine grundlegende Eigenschaft der Dezibel-Skala. Die Formel für den Zusammenhang lautet: $L = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$ Wobei L der Schallpegel in Dezibel, I die Schallintensität und I₀ die Bezugsintensität ist. Wenn sich die Intensität verzehnfacht (I → 10·I), dann ändert sich der Schallpegel um: $\Delta L = 10 \cdot \log_{10}(10) = 10 \cdot 1 = 10 \text{ Dezibel}$ Die anderen Antwortoptionen sind falsch: 5 dB wäre bei einer Verdreifachung der Intensität, 20 dB bei einer Verhundertfachung und 100 dB würde einer Intensitätssteigerung um den Faktor 10¹⁰ entsprechen. ## 982 > [!info] Korrektur > In der Grafik ist im Buch (Version 1.0) ist (2,3) und (4,1) statt (1,3) und (3,1) eingezeichnet. **B) 1. und 2. sind richtig.** Um herauszufinden, welche Funktionen durch die Punkte $(1, 3)$ und $(3, 1)$ verlaufen, müssen wir die Koordinaten beider Punkte in jede Funktionsgleichung einsetzen und prüfen, ob die Gleichung für beide Punkte erfüllt ist. Punkt 1: $(x=1, y=3)$ Punkt 2: $(x=3, y=1)$ Überprüfung der Funktionen: 1. **$y = -x + 4$** * Für Punkt $(1, 3)$: $3 = -1 + 4 \implies 3 = 3$. Diese Aussage ist wahr. * Für Punkt $(3, 1)$: $1 = -3 + 4 \implies 1 = 1$. Diese Aussage ist wahr. * Da die Gleichung für beide Punkte stimmt, verläuft diese Funktion durch die Punkte. 2. **$y = \frac{3}{x}$** * Für Punkt $(1, 3)$: $3 = \frac{3}{1} \implies 3 = 3$. Diese Aussage ist wahr. * Für Punkt $(3, 1)$: $1 = \frac{3}{3} \implies 1 = 1$. Diese Aussage ist wahr. * Da die Gleichung für beide Punkte stimmt, verläuft diese Funktion durch die Punkte. 3. **$y = 3x^3$** * Für Punkt $(1, 3)$: $3 = 3(1)^3 \implies 3 = 3(1) \implies 3 = 3$. Diese Aussage ist wahr. * Für Punkt $(3, 1)$: $1 = 3(3)^3 \implies 1 = 3(27) \implies 1 = 81$. Diese Aussage ist falsch. * Da die Gleichung nicht für beide Punkte stimmt, verläuft diese Funktion nicht durch beide Punkte. 4. **$y = \frac{1}{3}\sqrt{x}$** * Für Punkt $(1, 3)$: $3 = \frac{1}{3}\sqrt{1} \implies 3 = \frac{1}{3}(1) \implies 3 = \frac{1}{3}$. Diese Aussage ist falsch. * Wir brauchen den zweiten Punkt nicht zu prüfen, da die Gleichung bereits für den ersten Punkt nicht stimmt. Diese Funktion verläuft nicht durch beide Punkte. ## 983 **C) Tangens** Der Tangens beschreibt in einem rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Du kannst dir das mit der Merkhilfe TOA einprägen: Tangens = Gegenkathete/Ankathete (Opposite/Adjacent). Die anderen trigonometrischen Funktionen beschreiben andere Verhältnisse: - Sinus: Gegenkathete/Hypotenuse - Cosinus: Ankathete/Hypotenuse - Cotangens: Ankathete/Gegenkathete (also genau umgekehrt zum Tangens) - Sinus hyperbolicus: Dies ist keine klassische trigonometrische Funktion für Dreiecke, sondern eine hyperbolische Funktion. Wenn du dir die Verhältnisse der Seiten im rechtwinkligen Dreieck merken willst, hilft dir die Eselsbrücke SOH-CAH-TOA: Sinus = Opposite/Hypotenuse, Cosinus = Adjacent/Hypotenuse, Tangens = Opposite/Adjacent. ## 984 **C) Alle Aussagen sind richtig.** Alle vier Aussagen über Logarithmen sind korrekt: 1) Logarithmen können tatsächlich nur für positive Zahlen definiert werden. Der Grund dafür ist, dass du keine Logarithmen von negativen Zahlen oder Null bilden kannst. Mathematisch ausgedrückt: $\log_a(x)$ ist nur für $x > 0$ definiert. 2) Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der einzelnen Logarithmen. Diese wichtige Rechenregel lautet: $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$. Sie hilft dir, komplizierte Produkte zu vereinfachen. 3) Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der einzelnen Logarithmen. Die Formel dafür ist: $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$. Diese Regel macht Divisionen mit Logarithmen einfacher. 4) Der Logarithmus einer Potenz ist das Produkt aus Exponent und Logarithmus der Basis. Diese Regel wird als: $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$ geschrieben und ist besonders nützlich bei Exponentialgleichungen. Diese Logarithmusgesetze sind grundlegende Werkzeuge in der Mathematik und werden häufig bei der Lösung von Gleichungen verwendet. ## 985 **A) f'(x) = e^x und f(x) > 0 für alle x** Die Exponentialfunktion f(x) = e^x hat zwei wichtige Eigenschaften: 1. Ihre Ableitung ist sie selbst: f'(x) = e^x Dies ist eine besondere Eigenschaft der e-Funktion. Wenn du die Ableitung bildest, erhältst du wieder dieselbe Funktion. 2. Für alle reellen Zahlen x gilt: f(x) = e^x > 0 Die e-Funktion nimmt nur positive Werte an, egal welchen x-Wert du einsetzt. Für negative x-Werte wird der Funktionswert zwar sehr klein, aber nie null oder negativ. Die anderen Optionen sind falsch, weil: - Option B: e^x ist immer positiv, nie negativ - Option C: e^x hat kein Maximum, sondern steigt für x → ∞ immer weiter an - Option D: e^x hat keine Nullstellen, da die Funktion nie den Wert 0 annimmt - Option E: e^x ist für alle x-Werte positiv, nicht nur für x ≥ 0 ## 986 **C) Tangens** Bei einer Steigung von 12% wird bei einer horizontalen Strecke von 100m eine Höhendifferenz von 12m überwunden. Der Tangens eines Winkels ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im rechtwinkligen Dreieck. $\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\text{Höhendifferenz}}{\text{horizontale Strecke}} = \frac{12\text{ m}}{100\text{ m}} = 0,12$ Die Steigung von 12% entspricht also genau dem Tangenswert des Steigungswinkels. Der Tangens beschreibt das Verhältnis zwischen Höhenunterschied und horizontaler Entfernung. Die anderen Funktionen passen nicht: - Sinus wäre das Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse - Cosinus wäre das Verhältnis von Ankathete zur Hypotenuse - Cotangens wäre der Kehrwert des Tangens, also horizontale Strecke zu Höhendifferenz ## 987 **E) Keiner der gezeigten Graphen** Um die zweite Ableitung einer Funktion zu sein, muss ein Graph bestimmte Eigenschaften erfüllen. Wenn du eine Funktion zweimal ableitest, erhältst du eine Funktion, die die Krümmung der ursprünglichen Funktion beschreibt. Für eine zweite Ableitung gilt: Wenn die zweite Ableitung an einer Stelle positiv ist, ist die Ursprungsfunktion dort nach oben gekrümmt (konvex). Wenn die zweite Ableitung negativ ist, ist die Ursprungsfunktion nach unten gekrümmt (konkav). Wenn wir nun eine zweite Ableitung integrieren, erhalten wir die erste Ableitung. Integrieren wir diese nochmals, bekommen wir die Ursprungsfunktion. Bei diesem zweimaligen Integrieren entstehen zwei Integrationskonstanten, die den Graphen der Ursprungsfunktion verschieben können. Keiner der gezeigten Graphen kann eine zweite Ableitung sein, da sie entweder Unstetigkeiten aufweisen oder Eigenschaften haben, die bei einer zweiten Ableitung einer stetigen Funktion nicht vorkommen können. Eine zweite Ableitung einer normalen Funktion müsste stetig sein und einen Verlauf haben, der durch zweimaliges Integrieren eine sinnvolle Ursprungsfunktion ergibt. ## 988 **E) Alle sind richtig** Alle vier Gleichungen sind mathematisch korrekt: 1. $\ln e = 1$ Der natürliche Logarithmus (ln) von $e$ ist definitionsgemäß 1, da $e^1 = e$. 2. $\log_2 8 = 3$ Diese Gleichung ist richtig, weil $2^3 = 8$. Der Logarithmus zur Basis 2 von 8 fragt: Zu welcher Potenz muss ich 2 erheben, um 8 zu erhalten? 3. $\log_{10} 1000 = 3$ Hier gilt: $10^3 = 1000$. Der Logarithmus zur Basis 10 von 1000 fragt: Zu welcher Potenz muss ich 10 erheben, um 1000 zu erhalten? 4. $e^1 = e$ Diese Gleichung ist offensichtlich richtig, da jede Zahl zur Potenz 1 die Zahl selbst ergibt. Da alle vier Aussagen mathematisch korrekt sind, ist Antwort E richtig. ## 989 **C) 90π ** Um das Volumen eines Rotationskörpers um die y-Achse zu berechnen, verwendest du die Formel $V = \pi \int_a^b [f(y)]^2 dy$, wobei $f(y)$ den Abstand zur Rotationsachse beschreibt. In diesem Fall rotiert ein Rechteck mit den Grenzen $x=0$, $y=0$, $x=3$ und $y=10$. Der Abstand zur y-Achse ist konstant $f(y) = 3$ für alle $y$ von 0 bis 10. Setzt du dies in die Formel ein, erhältst du: $V = \pi \int_0^{10} 3^2 dy = \pi \cdot 9 \int_0^{10} dy = \pi \cdot 9 \cdot 10 = 90\pi$ ## 990 **A) 1, 2 und 4 sind richtig.** Die Konzentrationskurve zeigt einen exponentiellen Abfall, der durch die Formel $c = c_0e^{-kt}$ beschrieben werden kann. Dies erkennst du daran, dass die Konzentration in gleichen Zeitintervallen immer um den gleichen Faktor abnimmt (von 100 auf 50 nmol/L in den ersten 2 Stunden, also Halbierung). Aussage 1 ist richtig: Die Funktion folgt dem Modell $c = c_0e^{-kt}$ mit $c_0 = 100$ nmol/L als Anfangskonzentration. Aussage 2 ist richtig: Exponentielle Abnahmen treten auch bei radioaktiven Zerfallsprozessen auf, die ebenfalls dem Gesetz $N = N_0e^{-λt}$ folgen. Aussage 3 ist falsch: Die Halbwertszeit beträgt 2 Stunden (nicht 4), da nach 2 Stunden die Konzentration bereits auf 50 nmol/L gesunken ist. Aussage 4 ist richtig: Mit der Halbwertszeit von 2 Stunden kannst du berechnen: Nach 10 Stunden (= 5 Halbwertszeiten) ist die Konzentration auf $100 · (1/2)^5 = 100 · 1/32 ≈ 3,1$ nmol/L gesunken. ## 991 **E) Alle sind richtig.** Alle vier mathematischen Gleichungen sind korrekt: 1. $\log_{10}(1000) = 3$ Diese Gleichung ist richtig, denn der Logarithmus zur Basis 10 von 1000 ist tatsächlich 3, da $10^3 = 1000$. Der Logarithmus gibt an, zu welcher Potenz die Basis erhoben werden muss, um den Wert zu erhalten. 2. $e^1 = e$ Diese Gleichung ist richtig, denn jede Zahl zur Potenz 1 ergibt die Zahl selbst. Also ist $e^1 = e$. 3. $\ln(e) = 1$ Diese Gleichung ist richtig, denn der natürliche Logarithmus (ln) ist der Logarithmus zur Basis $e$. Da $\ln(e) = \log_e(e) = 1$ (weil $e^1 = e$), ist diese Aussage korrekt. 4. $10^2 = 100$ Diese Gleichung ist richtig, denn 10 zum Quadrat ergibt 100. Da alle vier Gleichungen mathematisch korrekt sind, ist Antwort E die richtige Wahl. ## 992 **A) Graph a** Die Funktion $y = x^3$ ist eine kubische Funktion, die durch Graph a dargestellt wird. Du kannst sie an folgenden Eigenschaften erkennen: 1. Die Funktion geht durch den Ursprung (0,0) 2. Für negative x-Werte verläuft die Kurve im negativen y-Bereich (3. Quadrant) 3. Für positive x-Werte verläuft die Kurve im positiven y-Bereich (1. Quadrant) 4. Die Kurve hat einen Wendepunkt im Ursprung 5. Die Steigung nimmt mit wachsendem |x| zu, was typisch für eine kubische Funktion ist Die anderen Graphen stellen andere Funktionstypen dar: - Graph b könnte eine quadratische Funktion sein (nach oben geöffnete Parabel) - Graph c könnte eine lineare Funktion sein (Gerade) - Graph d könnte eine Wurzelfunktion sein - Graph e könnte eine Exponentialfunktion sein ## 993 **A) 1 und 2 sind richtig.** Zur Erklärung der Aussagen: 1) Richtig: Der Tangens des Steigungswinkels entspricht tatsächlich dem Verhältnis Δy/Δx. Das ist die mathematische Definition des Tangens in einem rechtwinkligen Dreieck, wobei Δy die Gegenkathete und Δx die Ankathete ist. 2) Richtig: Eine Steigung von 100% bedeutet, dass Δy = Δx ist, also das Verhältnis Δy/Δx = 1 beträgt. Der Tangens des Steigungswinkels α ist also tan(α) = 1, und der Winkel, dessen Tangens 1 ist, beträgt genau 45°. 3) Falsch: Die Prozentangabe der Steigung ist nicht identisch mit dem Steigungswinkel in Grad. Beispiel: Eine 100%-Steigung entspricht einem Winkel von 45° (nicht 100°). 4) Falsch: Steigungen über 100% sind durchaus möglich. Eine Steigung von z.B. 200% würde bedeuten, dass Δy = 2·Δx ist, was einem Steigungswinkel von etwa 63,4° entspricht. ## 994 **A) Graph A** Die Exponentialfunktion $f(x) = e^x$ hat charakteristische Eigenschaften, die du im Graph A erkennen kannst: - Sie verläuft durch den Punkt (0,1), da $e^0 = 1$ - Sie steigt für positive x-Werte immer steiler an - Für negative x-Werte nähert sie sich asymptotisch der x-Achse an, ohne diese zu schneiden - Die Steigung der Funktion in jedem Punkt entspricht genau dem Funktionswert an dieser Stelle Graph A zeigt genau diesen typischen Verlauf der e-Funktion. Die anderen Graphen können nicht korrekt sein, da sie entweder: - einen falschen Schnittpunkt mit der y-Achse haben - einen anderen Krümmungsverlauf zeigen - die x-Achse schneiden (was die e-Funktion nie tut) - ein anderes Wachstumsverhalten aufweisen Die e-Funktion ist eine der wichtigsten Funktionen in der Mathematik und kommt in vielen Anwendungen wie Zinseszins, Wachstumsprozessen und der Naturwissenschaft vor. ## 995 **A) cos(90° - 30°)** Bei dieser Aufgabe geht es um die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus. Der Sinus eines 30°-Winkels beträgt 0,5. Wir suchen eine Kosinusfunktion, die denselben Wert ergibt. Die richtige Antwort ist A, denn: $\cos(90° - 30°) = \cos(60°)$ Hier nutzen wir die wichtige trigonometrische Beziehung: $\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)$ Das bedeutet: Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Kosinus seines Komplementwinkels (der Winkel, der mit dem gegebenen Winkel zusammen 90° ergibt). Für unseren Fall: $\sin(30°) = \cos(90° - 30°) = \cos(60°) = 0,5$ Die anderen Optionen ergeben andere Werte: - B) $\cos(180° + 30°) = \cos(210°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ - C) $\cos(90° + 30°) = \cos(120°) = -0,5$ - D) $\cos(180° - 30°) = \cos(150°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ - E) $\cos(90° - 15°) = \cos(75°) \approx 0,259$ (nicht 0,5) ## 996 **D) 1., 2. und 3. sind richtig** Die Steigung einer Funktion entspricht ihrer ersten Ableitung. Anhand der Kurve kann man erkennen: In Punkt A steigt die Kurve (positive Steigung), in Punkt B ist ein Maximum (Steigung = 0), in Punkt C fällt die Kurve (negative Steigung), in Punkt D ist ein Minimum (Steigung = 0) und in Punkt E steigt die Kurve wieder (positive Steigung). Wichtig ist hier, den y-Wert eines Punktes nicht mit seiner Steigung zu verwechseln: Obwohl der Punkt D einen negativen y-Wert (-1) hat, ist die Steigung an diesem Tiefpunkt genau 0, da die Tangente hier waagrecht verläuft. Daher sind die Aussagen 1, 2 und 3 richtig. Aussage 4 ist falsch, da bei x = 180 die Steigung nicht null ist. Somit ist Antwort D korrekt. ## 997 **B) Die Fläche zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a,b]** Das bestimmte Integral $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ gibt die Fläche zwischen dem Graphen der Funktion f(x) und der x-Achse im Intervall [a,b] an, wenn f(x) durchgehend positiv ist. Du kannst dir das so vorstellen: Das Integral sammelt alle infinitesimal kleinen Rechtecke mit der Breite dx und der Höhe f(x) über dem Intervall [a,b]. Die anderen Antwortoptionen sind nicht korrekt: - A) Die Steigung wird durch die Ableitung f'(x), nicht durch das Integral beschrieben - C) Das Integral berechnet nicht den Mittelwert von Steigungen - D) Die Bogenlänge wird durch ein anderes Integral berechnet: $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$ - E) Dies beschreibt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, aber nur wenn F(x) die Stammfunktion von f(x) ist, nicht f(x) selbst ## 998 **B) 6 Tage** Um zu berechnen, wie lange es dauert, bis von 80 g noch 10 g übrig sind, nutzt du die Formel für radioaktiven Zerfall: $N(t) = N_0 \cdot 0,5^{t/T_{1/2}}$ Dabei ist: - $N(t)$ die verbleibende Menge (10 g) - $N_0$ die Anfangsmenge (80 g) - $T_{1/2}$ die Halbwertszeit (2 Tage) - $t$ die gesuchte Zeit Einsetzen der Werte: $10 = 80 \cdot 0,5^{t/2}$ Umformen: $\frac{10}{80} = 0,5^{t/2}$ $0,125 = 0,5^{t/2}$ Um den Exponenten zu bestimmen, nutzt du Logarithmen: $\log_{0,5}(0,125) = \frac{t}{2}$ $\log_{0,5}(0,5^3) = \frac{t}{2}$ $3 = \frac{t}{2}$ $t = 6$ Nach 6 Tagen sind also von ursprünglich 80 g noch 10 g übrig. ## 999 **C) Der Ball befindet sich am höchsten Punkt seiner Bahn, wenn f'(x) = 0 gilt.** Wenn f''(x) = -10 konstant ist, bedeutet das, dass der Ball eine konstante Beschleunigung nach unten erfährt (wie bei der Erdanziehungskraft). Bei f'(x) = 0 ist die Geschwindigkeit des Balls null - genau das passiert am höchsten Punkt der Flugbahn, wo der Ball kurz stillsteht, bevor er wieder fällt. Die anderen Optionen sind falsch: A) Bei konstanter Beschleunigung ändert sich die Geschwindigkeit stetig. B) Die Höhe ändert sich quadratisch mit der Zeit (parabelförmig), nicht linear. D) Die Beschleunigung bleibt konstant bei -10, ändert sich also nicht. E) Die Flugbahn ist tatsächlich eine Parabel, was typisch für Bewegungen mit konstanter Beschleunigung ist.